２つの封筒問題は、一金額を見る時は、２組の一部の場合ずつ

つまり②の場合においての、残りの金額を見る場合との比較は、

その内の全場合が、２つだけの組の場合があるところの、

大小どちらの金額を、見る場合かの比較なので、

大きい金額を見た場合と、小さい金額を見た場合の、全場合どうしの比較でなく、

小さい組の大きい方である、金額を見た場合の、

全場合になっている２組の場合の内の、小さい組の場合なのか、

　大きい組の小さい方である、金額を見た場合の、

全場合になっている２組の場合の内の、大きい組の場合なのかの、

比較になるのです。（下図参照）

１つの金額だけを見た場合には、２つの組の場合がありますが、

その各組の場合にある、２倍や１/２のもう１つの金額だけを見た場合にも、

組がわかってない場合なら、それぞれの場合に、２つの組の場合があるのです。

見ると、大小の場合の範囲が、同じずつに限定されずに限られることが、

大小の確率比が変わる原因です。そして、次の確率比になるように、限られます。

③から、２組での各交換時の１：２の減増分と、確率との積が、等しいので、

見た後の大小の場合である、場合の縮小した２組の、確率比は２：１です。

なので、任意の１組の内の、

１組の場合しかない大小どちらの金額を、見る場合かなら、

等確率の場合で、確率比は１：１ですが、

１つの金額を「見た」場合に、２組の場合があるものなら、

その場合の、小さい組の大きい方か、大きい組の小さい方かは、

あるいは、任意の１組が、

大小どちらの金額を見た場合の、２組の内のその組なのかは、

１つの金額を見た場合の、全場合どうしの比較でなく、

異る一部の場合どうしの比較であり、③の関係があるものなので、

２つの封筒の金額比が２：１なら、

どちらも確率比は、１：１でなく２：１になります。

（以上、下図参照）

したがって、見た１万円が、

大きい方になる、小さい組のものか、小さい方になる、大きい組のものかの、

確率比は２：１です。

１万円を交換しても、平均予想金額である期待値は同じで、損得はありません。

規模が小さい、組やその金額ほど、存在する確率が大きいのでは、ありません。

ゲームの胴元の設定の傾向によって、確率がずれるのでも、ありません。

見る前の設定は、２つの金額も、２組も、確率は1/2ずつのままなのです。

1つの金額だけを見ることにより、大小の場合の範囲が、二重に限られるので、

確率比が変わるのです。

　【２組での同金額の全場合でなく、一部の場合ずつで、確率比は２：１】

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１つの金額を見て、組が存在することを、考えると、

各見た金額には、２つの組の場合があり、

逆に各組にも、２つの見た金額の場合があります。

見た金額の各場合は、存在する確率は平等なので、等確率のままで、

組の各場合も、存在する確率は平等なので、等確率のままです。

それがどこまでいっても、

どちらも相手の違う２つの場合に、またがって存在するので、

見た金額と組も等確率で、どちらも、一部の場合ずつの対応になるように、

互いにずれて対応していることに、なります。

図の隣の、もう１つの金額を見た場合と合わせた、

各組の全場合の確率が、等確率であることになります。

そして、２つの封筒という、金額を見て交換しても、

大小の２つの場合を合わせた、期待値が変わらない構造の場合なので、

そのずれは半分ずつでなく、上図のようになります。

見た金額のある２組に関係するものに、限った図です。

上列が、一人の人が 2^(±ｎ) 万円を見た場合に限った、各場合で、

下列が、それに対応する、組が存在する各場合です。（ｎは０以上の整数）

（１円未満のある金額も出てきますが、レシート等で存在するので、

　小切手等で、金額として存在するものとして、矛盾はないと思います。）

なお、最小単位を設定して、たとえば１円単位の金額のみで考えると、

　小さい方が奇数の組の、小さい方：小さい方が奇数の組の、大きい方：

　小さい方が偶数の組の、小さい方：小さい方が偶数の組の、大きい方

の確率比は１：１：１：１なので、偶数の金額を見る確率比は０：１：１：１で、

偶数の金額を見た場合全体での、大きい方か小さい方かの確率比は２：１ですが、

それは大きい方での、奇数の２倍の金額の場合と、偶数の２倍の金額の場合の、

４の倍数＋２の場合と、４の倍数の場合を、合わせて数えるためなので、

偶数の金額が１つだけの場合なら、大小の確率比は１：１です。

①　選ぶ方が大か小かも、選んだ方が大か小かも、

選ぶ方や選んだ方に、大小のどちらかの場合が、存在していればよいので、

同じ組の場合に、限定されていません。

両方の金額がわかっているので、ないなら、組も決まっていないので、

存在する１組での、両方存在する大小に、限られず、

外れた方は存在せず、どちらか一方だけが存在する、

組の違う２組の場合での大小も、含まれます。

２つの封筒の、残りの封筒の場合と比べるだけでなく、

２つの組の、残りの組の内もう一方の場合と比べるのも、

含まれているのです。

金額を見る前は、確率比は、どうせどちらも１：１なので、

つい、２つの金額がわかっている場合と同様に、

前者だけ考えて、後者は省略したままで、すましてしまい、

複雑で場合の多い後者は、あまり意識されなくなっています。

しかし、見た後の大小を考えれば、後者も含まれていることが、わかります。

金額を見ると、大小を合わせた範囲は、

前者だけでは、当てはまるものがなくなり、

１つの組が存在する場合の大か、１つの組が存在する場合の小かの、

本来の範囲の内から、

見た金額のある２組での、

それも、その内の、１つの金額を見た場合だけの２組での、

見た金額に絞られるのです。

③２つだけの封筒という、構造から、

１つの金額からの交換した期待値が、交換前と変わらないので、

２つの場合の、交換での減増分の期待値が、同じです。

また、金額比の設定が２：１なので、減増分の大きさは、１：２です。

その構造面から、２つの場合の確率比は、２：１です。

　　（以上で終わりです。ここからは詳しい説明です。）

自分が大きい方を見た場合の２組と、自分が小さい方を見た場合の２組とは、

違うものですが、確率比はどちらも同じなので、２：１です。

また、見た金額と、見ていないもう１つの金額の、

存在する２つの金額の大小なら、見た後も、確率比は１：１のままです。

確率をわかりやすく可能性とおきかえて考えると、

１万円を見た場合なら、５千円と１万円の組である可能性が２/３で、

１万円と２万円の組である可能性が１/３になります。

もう一つの金額が離れるほど、交換での減増分が大きくなって、

その分、可能性が小さくなっています。

５千円を見た場合なら、2500円と５千円の組である可能性が２/３で、

５千円と１万円の組である可能性が１/３です。

２万円を見た場合なら、１万円と２万円の組である可能性が２/３で、

２万円と４万円の組である可能性が１/３です。

５千円を見るのも１万円を見るのも２万円を見るのも、可能性自体は同じなので、

１：１：１で、それは、２/３＋１/３：２/３＋１/３：２/３＋１/３　です。

それぞれは、小さい組（の大きい方）である可能性が２/３と、

大きい組（の小さい方）である可能性が１/３、という意味です。

これを逆から見ると、たとえば、５千円と１万円の組である可能性は、

５千円を見た場合の１/３ですが、１万円を見た場合の２/３も加わります。

（これは、５千円と１万円の組である可能性が100%の場合の、ことでないので、

その場合の、５千円を見た可能性が50%、１万円を見た可能性が50%であること

とは、全く別のことです。

見た金額の各場合には、対応する組の場合が２つずつ、あるのです。）

同様に、１万円と２万円の組である可能性は、

１万円を見た場合の１/３と、２万円を見た場合の２/３とです。

なので、金額を見ていない場合の、全ての金額でありえる可能性の上でなら、

５千円と１万円の組である可能性も、１万円と２万円の組である可能性も、

１/３＋２/３：１/３＋２/３＝１：１で、同じです。

なので矛盾はなく、パラドックスにはなりません。

見た金額が大小どちらの金額でも、存在する封筒は２つなので、

２回の見ての交換で、元の金額に戻ります。

また双方からの見ての交換の合計も、元の合計金額です。

そのため、のべ１回の見ての交換の期待値は、見た金額です。

そして、封筒は２つしかないのですが、見た後は、

どちらの２つがあるのかが、問題になるのです。

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（ここからは大小でなく、小・大の順になります。）

【問題】　２つの封筒に小切手が入っていて、金額比は１：２です。

一方を選んで金額を見ると、一万円でした。

封筒を交換すると損か得か、確率的に見てどうでしょうか。

【解答】選んだ封筒の金額をA、残りの封筒の金額をB、

２つの金額比を１：C（ C＞１）とおきます。

１つのAを見て、Aの金額が１つに決まると、２つの封筒は、

Aが小さい方ならAとCAで、BがCA、Aが大きい方ならA/CとAで、BがA/Cです。

したがって金額を見ると、小さい方か大きい方かは、一方は存在しない組のことに

なり、

大きい組の場合の、小さい方か、小さい組の場合の、大きい方かに、なるので、

確率比は、２組の確率比になります。

１つのAの小か大かでの交換は、CA−A＝C(A−A/C)で、増減分がC：１なので、

１つのAが小か大かの確率比は、１つのAを交換した期待値が同じなら、１：Cです。

残りがCAの組かA/Cの組かが、一定の確率比があると考えると、１：Dとおけます。

そして確率を、X＝１/１＋D、Y＝D/１＋Dとおきます。

２回の交換も、双方からの交換の合計も、全体で最初の金額に戻るので、

１つの金額が小か大かの割合が、制限されています。

したがってその関係式から、１つの交換の、期待値や確率比が求まります。

自分が小さい方を見た場合の２組と、自分が大きい方を見た場合の２組とは、

同じ確率比なので、一方が別の人であっても、同じことです。

１つのAを見て交換した人の期待値は、CA×X＋A/C×Y＝A×(CX＋Y/C)

１つのBを見て交換した人の期待値は、１つのAを見て交換した人の期待値の、

AとBを入れ替えただけのことなので、CB×X＋B/C×Y＝B×(CX＋Y/C)

２人がが互いに交換した封筒の金額の合計は、B＋A＝A＋Bなので、

全体の期待値である、期待値の合計も、A＋Bとなり、

A×(CX＋Y/C)＋B×(CX＋Y/C)＝A＋B 　(A＋B)×(CX＋Y/C)＝A＋B

∴CX＋Y/C＝１　 したがって、Aを交換しても期待値は同じです。

両辺にC(１＋D)をかければ、　CC＋D＝C(１＋D)　　CC−C(１＋D)＋D＝０

　　　　　　　　　　　　　　(C−１)(C−D)＝０　　　C＞１より　D＝C

よって、見た金額が、小さい方か大きい方かの確率比は、１：Cです。

したがって、一万円を交換しても期待値は同じで、損得はありません。　　（左図参考）

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また、BがCAである確率は　X、A/Cである確率は　Y、なので、

どちらのBかわからないものとして、

Bの封筒を、金額をこれから見て、それを交換する人の期待値、を考えれば、

CAを交換した期待値は、CA×(CX＋Y/C)、A/Cを交換した期待値は、A/C×(CX＋Y/C) 、

なので、B全体での期待値は、CA×(CX＋Y/C)×X＋A/C×(CX＋Y/C)×Y　　（＝A）

これがAの封筒に交換されるので、全体での期待値もAとなり、D＝Cが求まります。

あるいは、Aを２回交換（２回目はAの金額を知らない別の人が、

Bの封筒の金額を見てからAの封筒と交換）すると、元のAの封筒になるので、

２回交換した時の期待値も、元のAとなり、D＝Cが求まります。

（右図参考。右図は、２つの組での交換図です。２本線の幅が、組が存在する割合です。

　右図の(　)内は確率。期待値は右端の、金額と確率の積の合計です。

　図は、２つの封筒の各組の大小の差に対して、上下方向の長さが対数的になっていて、

　図の下になるほど拡大されています。）

１回目の交換でも、２回目の交換でも、存在するのは、どれか１組ずつだけです。